VERİLERİ FOURIER EĞRİSİNE UYDURMA

 PERYODİK OLAYLAR VE ANALİZ

Şunu rahatlıkla söyleyebiliriz ki evren, galaksiler ve gezegenler  peryodik, döngüsel  olaylar gösterirler. Dünyanın dönüşü, , güneşin eliptik bir dairede dolanması ve termal dönemlerinin olması gibi birçok olayı sayabiliriz. Bu evrensel olaylar yerküremize de yansımaktadır. Günlerin, ayların ve Mevsimlerin ard arda gelişi, bir yıl ve 12 ayın zaman içinde tekrarlanışı bu döngüsel olaylardandır. Hatta bu durum sosyolojik olaylara bile yansır ve “tarih tekerrürden ibarettir” sözü meşhurdur

            Evren ve dünyamızdaki bu döngüsel olaylar biyolojik verilere aynı zamanda biyolojik olmayan fiziksel ve kimyasal verilere de yansır. Birçok tarımsal veri türü, periyodik karakter göstererek düzenli zaman aralıklarında yukarı ve aşağı dalgalanma eğilimindedir (Little ve Hills, 1978). Doğal ortamdaki birçok olgunun çevrim veya döngüsel karakteri, zaman ve mekanda ifade edilir. Biyolojik ve diğer verilerin birçok döngüsel ve mevsimsel değişimi, günlük, aylık, yıllık veya diğer döngülerin değişikliklerine bağlı olarak ortaya çıkar

Bu tür döngüsel  ve çevrimsel  veriler matematikte Fourier eğrisi ile ifade edilmektedir ve düzenli aralıklarla yukarı ve aşağı dalgalanma eğiliminde olan her türlü veri için kullanışlıdır. Elektrik mühendisliğinde, titreşim analizinde, akustiklerde, sinyal işlemesinde, resim işlemesinde, kuantum mekaniğinde ve ekonomi hesaplamaları gibi birçok alanda kullanılmaktadır.

Bu kadar yaygın olmasına rağmen çok az sayıda istatistik metni  verilerin Fourier eğrisine uymaklığını (fitting)  tartışmaktadır. Ancak tarımsal verilerin de bu evrensel  döngüye uyacağı  için bu alanda da uygulama alanı bulmuş ve bulması doğaldır. Özellikle tarımı etkileyen yağış ve sıcaklık verilerinde de kullanılmaktadır.

Little ve Hills (1978) de verilen Fourier eğrisi örneğini genişleterek bir Excel  vba yazılımı yapıldı. Avciistatistik.xlam içerisinde yer alan bu uygulamayı, Avciistatistik makrosunu indirip ilk sayfada verilen yönerge ile Excel’in addins (eklentiler) klasörüne  yapıştırdıktan  sonra “Avci menusu” içinde bulup kullanabilirsiniz. Avciistatistik.xlam indirmek için tıklayınız

FOURIER SERİSİ NEDİR?

Bir T dönemine sahip  Fourier Serisi her biri 1/T'nin tam katı frekansa sahip  sonsuz sayıda sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının toplamıdır. Ayrıca x ekseninden uzaklığı ifade eden bir de sabit terim (a0) içerir. a_m, b_n sabitleri Fourier Serisi katsayılarıdır ve her bir sinüsün (ya da kosinüsün) toplama hangi ağırlıkla katılacağını gösterir.

 

 

g(x) =

           a0 + a1*cos(x*C) + b1*sin(x*C) +

           a2*cos(2*x*C) + b2*sin(2*x*C) + a3*cos(3*x*C) + b3*sin(3*x*C) +

           a4*cos(4*x*C) + b4*sin(4*x*C) + a5*cos(5*x*C) + b5*sin(5*x*C) +

           a6*cos(6*x*C) + b6*sin(6*x*C) + a7*cos(7*x*C) + b7*sin(7*x*C) +

           a8*cos(8*x*C) + b8*sin(8*x*C)……….

 

 Sadece X*C ile bulunan eşitliğe 1. Derece, bu artı  2*x*C ile 2. Derece , 3*x*C de katılırsa 3. Derece vb…..fourier eşitliği denilmektedir. C radyan cinsinden açıdır.

Dalgalı fonksiyonlarda genlik (amplitude) eğrinin merkezi noktadan (a0) ne kadar aşağı ve yukarı gittiğini gösterir. Yarı genlik değeri = a1²+b1² değerinin karekökü ile elde edilir.2 ile çarparak tam genlik değeri bulunur.

Bir diğer önemli ölçek faz açısıdır. Formülü  (b1/a1) oranının ters tanjantının aşağıdaki kurallara göre eklenmesidir. Eğrinin nerede en yüksek değere ulaştığını gösterir. Excelde bir hücrede "=ATAN(b1/a1)" ile elde edilen değeri "=360/(2*Pİ())" ile elde edilen değerle çarpıyoruz. Sonra aşağıdaki duruma göre işlem yapıyoruz. Örneğin; bulduğumuz iki katsayı da sıfırdan küçük (<0) olduğundan bulduğumuz değeri 180 ile topluyoruz.

a1	b1	max
>0	>0	faz
>0	<0	180-faz
<0	>0	180-faz
<0	<0	180+faz

 

VERİLERİ FOURIER EĞRİSİNE UYDURMAK

Önce Little ve Hills örneğinden başlayalım. 1. Derece Fourier eşitliği oluşturalım.

1. Önce 360 dereceyi gözlem adedine bölerek her bir gözleme kaç derece düştüğünü buluyoruz -önekte  360/25=15⁰

2. sonra bunu radyan (yay) açısına dönüştürüyoruz.  Bunun için radyan=2 x pi sayısı x derece/360 örnek: 2 x 3.14 x 15/360 =0.261667

3. Sonra bunu gözlem sırası ile (1 ise 1 ile 2ise 2 ile) çarparak  24 gözlem için işlemi yapıyoruz.

4. sonra cos(radyan) ve sin(radyan) sütunlarını oluşturuyoruz (Şekil1 )

 

Şekil 1.

Bu tablo oluşturulduktan sonra avciistatistik makrosu, Avci menüsünde yer alan “Çoklu regresyonu” doğrudan devreye girerek katsayıları ve ilgili istatistikleri hesaplıyor. Y olarak Y sütunu, X değerleri olarak cos ve sin sütunlarını seçiyoruz.

Sonuçlar özet olarak:

 

 

Burada bulunan  cos (a1) ve sin (b1) ile hesaplanan yarı genlik ve genlik 17.07 ve 34.14. Faz açısı 0.043 yay (radyan) 2.49⁰ Her iki katsayı da negatif olduğundan Faz açısı 180+2.5= 182.5⁰ Bir ay 30 derece olduğuna göre en yüksek yer 6.1 aydır. İlgili grafik:

 

Little, T. M. and Hills, F. J. (1978). Agricultural Experimentation Design and Analysis. New York: John Wiley and Sons, Inc.

 

Bir başka örnek: (NOT: internette bilinen istatistik yazılımları ile yapılan veriye ulaşılamamıştır. sadece "https://math.stackexchange.com/questions/29198/using-fourier-analysis-to-fit-function-to-data" adreste bir veri ve MATLAB da yapılan bir analiz  var bunu alarak doğrulamayı yaptım)

Y verilerini  ve sıra’lamayı alarak ve ilgili yazılımı kullanarak aşağıdaki değişkenler elde edilmiştir. Ayrıca bundan sonraki işlemleri de not olarak belirtmektedir.

 

Fourier katsayıları sarı fonla belirtilmiştir. Ayrıca güven sınırları da kırmızı renkle gösterilmiştir. Her ne kadar fourier katsayıları MATLABI tutmasa da üretilen grafikler bire bir aynıdır. Bunun yöntem farkından kaynaklandığını sanıyorum.

İlgili grafik ve orijinal değerler grafikte görülmektedir.

 

MATLAB kullanarak  yapılan analizle elde edilen grafik