GAMA VE GAMA DAĞILIMLARI

 

Gama dağılımı, her zaman pozitif değerde olan ve yatık (skewed) dağılımlara sahip sürekli değişkenleri modellemek için mühendislik, bilim ve iş dünyasında yaygın olarak kullanılmaktadır. Günlük yağış miktarları, yüzey akış, hayvanların süt verme süreleri, toplam sigorta taleplerinin ve bir rezervuarda biriken yağış miktarının bir gama süreci ile modelleme çalışmalarında yararlanılmaktadır..

Şekilde farklı alfa (a) ve beta (b) değerliri ve farklı x değerlerine karşılık gelen gama olasılık yoğunluk dağılımları (Prob. Density) görülmektedir. (Hesaplamalar burada tanıtımı yapılan excel makroları yardımı ile hesaplanmıştır)

Bu şekilde ise  farklı alfa (a) ve beta (b) değerleri ve farklı x değerlerine karşılık gelen gama Birikimli (kğmğlatif) gama dağılımları (cumulative distribution) görülmektedir. (Hesaplamalar, burada tanıtımı yapılan excel makroları yardımı ile hesaplanmıştır)

  GAMA dağılımında  aşağıdaki eşsayı (parametre) ve değişken yer alır: (bağımsız değişken: Bir eylem, olay, yöntem, özellik, fonksiyon veya yordama bilgi sağlayan bir değer.)

• X    dağılımı değerlendirmek istediğiniz değişkendir. x>0 olmalı
• Alfa  gama dağılım şekline (shape)  özgü  bir eşsayı. Alfa>0
• Beta   Dağılımın bir eşsayısı. Dağılımın ne denli orantılı (scale) olduğunun bir göstergesidir. Beta>0
• Sınırlayıcı bir eşsayı, c>0
• c=1 olduğunda gama iki eşsayılı hale gelir.
• c=1 ve Beta = 1 ise, dağılım standart gama dağılımını verir.

Genel gama fonksiyonu dağılımı 3 eşsayıya sahiptir ve eşitliği  aşağıdaki gibidir.

Genel gama dağılımının birikimli şekli de şu şekildedir

   

İki  eşsayılı gama olasılık yoğunluğu işlevine (fonksiyonu)  ilişkin denklem aşağıdaki gibidir: (PDF)      

İkili gama dağılmının birikimli hali söyledir:     

Standart gama olasılık yoğunluğu işlevi (Standart-ilksel  PDF) ve birikimli (CDF) hali son iki eşitlikte Beta yerine 1 konularak elde edilebilir.

 Yukarıdaki eşitliklerde  Г(α)= Gama değeridir. Lanczos yaklaşımı ile hesaplanmıştır. 5 rakam doğruluğundadır. P(alfa,; x/beta)  alt yarı- gama işlevinin ( lower gamma) alt gama  işlevidir. Üst yarı-gama işlevi ise Q() ile yazılmaktadır.

Gama değerinin ikiye bölündüğü ve alt ve üst olarak adlandırıldığı bu yarı-gama değerlerini integral yazımı olarak ve şekilsel olarak aşağıda incelenebilir

 

Şekillerden görüldüğü gibi herhangi bir u değeri için Gama(alfa) iki bölüme ayrılmaktadır. Alt kısım sıfırdan u değerine, üst kısım ise u ‘dan sonsuza  integralidir.

 

GAMA Dağılımının diğer istatistikleri:

Gama dağılımının (a=Alfa, b=Beta)

Ortalaması=a x b

Modu = (a-1) x b ……a>=1

Değişimi (variance) = a x b²

Yatıklık = 2 / Karekök(a)

Eşsayıları Değerlemek (parameter estimation, moments)

Elimizde olan verilerden hesaplanan istatistikler kullanılarak Alfa ve Beta eşsayıları aşağıdaki gibi değerlenebilmektedir

a = Veri ortalaması)²/Veri değişimi

b=Veri değişimi/Veri ortalaması

.

Alfa = 1 olduğunda, GAMA. Dağılımı işlevi  üstel dağılımı verir:

Pozitif bir dağılım n için alfa = n/2, beta = 2 ve birikimli (kümülatif)   gama dağılımı  n serbestlik derecesiyle (1 - KİKARE.) sonucunu verir.

Alfa pozitif bir tamsayıysa, GAMA. Dağılımı  Erlang dağılımı olarak da adlandırılmaktadır.

YAZILIMLAR:

Excel’ VBA da  yazılan İşlevlerle (Makro) herhangi bir x değeri için GAMA DEĞERİ Logaritması (=gammln), BİRİKİMLİ GAMA DEĞERİ (=gamabirikimliCDF), YOĞUNLUK (frekans)  DEĞERİ (=gamayogunlukPDF), ALT YARI-GAMA (=gammpax) ve ÜST YARI-GAMA (=gammqax) değerleri ve Birikimli gama ile hesaplanan olasılık değerinden bu değeri hesaplarken kullanılan x değeri (=gammters) ile hesaplanmaktadır.

Avciistatistik makro grubu indirildikten (indirmek için tıkla) sonra ana sayfada gözterildiği gibi kurulur.Kısaca şöyle: indirilen makro grubu kopyalanır ve excel açılır. Burada sıra ile şu tıklamalar yapılır

DOSYA /SEÇENEKLER /EKLENTİLER /GİT /GÖZAT / açılan pencereye makroyu yapıştır /TAMAM

Böylece gama dağılım makroları kullanılır hale gelir. Aşağıdaki şekillerde nasıl kullanılacağı görülebilir.

1.fx şeridine =gamm diye yazınca tüm gama uygulamaları görülür

2. bunlardan istediğimiz birine tıklayınca şekildeki “gammabirikimliCDF(“ çıkar.

3.fx üzerine tıklayınca aşağıdaki şekil görülür. Burada istenen değerler girilince ve Tamama tıklayınca sonuç şeçtiğimiz hücrede görülür.

Diğer excel işlevleri gibi bir sütun üzerinde x değerleri bulunuyorsa. Hesaplanan hücre kopyalanıp yapıştırılarak tüm  x değerleri için gama sonuçları fx şeridi kullanılmaksızın yapılır.

Bu işlevleri kullanmak için avciistatistik makrosunu indir